一道挺难的数论题黑板上有2005个数,分别是1、1/2、1/3、1/4……1/2005.每次操作允许从黑板上擦去任意a、b两数,写上新数ab+a+b,经过2004次操作后,剩下一个数,求这个数.

Question

一道挺难的数论题
黑板上有2005个数,分别是1、1/2、1/3、1/4……1/2005.每次操作允许从黑板上擦去任意a、b两数,写上新数ab+a+b,经过2004次操作后,剩下一个数,求这个数.

Answer 1

对任意两个数a,b,擦掉后的新数A：ab+a+b=(a+1)(b+1)-1
当该新数A和任意其它数c组合并换成新数B：B=(A+1)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(c+1)-1.
该新数B和任意数d,合并成新数C：C=(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)-1
如果是新数C和其它的新数D等合并也可发现同意的规律.
所以最后的一个数是：
(1+1)(1/2+1)(1/3+1)...(1/2005+10)-1=2*3/2*4/3*...2006/2005-1=2006-1=2005