设f(x)=1/(3^x+(根号3)),分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),归纳猜想一般性结论,并证明之审好题意归纳证明

Question

设f(x)=1/(3^x+(根号3)),分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),归纳猜想一般性结论,并证明之
审好题意 归纳 证明

Answer 1

f(x)=1/(3^x+√3)=(3^x-√3)/(3^2x-3)
f(0)+f(1)=(√3-1)/2+(3-√3)/6=√3/3
f(-1)+f(2)=(9√3-3)/26+(9-√3)/78=√3/3
f(-2)+f(3)=(81√3-9)/242+(27-√3)/726=242√3/726=√3/3
f[1/2-(2n-1)/2]+f[1/2+(2n-1)/2]=f(1-n)+f(n)
=(3^(1-n)-√3)/(3^2(1-n)-3)+(3^n-√3)/(3^2n-3)
=(3^(2n-1/2)-3^n)/(3^2n-3)+(3^n-√3)/(3^2n-3)
=(3^(2n-1/2)-√3)/(3^2n-3)
=(3^2n-3)/(3^2n-3)√3=1/√3