用数学归纳法证明3^n≥n^3则n的最小值可取

Question

用数学归纳法证明3^n≥n^3则n的最小值可取

Answer 1

1.n=1,3^n=3^1=3>=1=1^3
n=2,3^2=9>8=2^3
n=3,3^3=27=3^3
2.假设 n=k 时,3^k>k^3 (k>3)
则n=k+1时
x^(k+1)=3*3^k>=3k^3
假定 3k^3>=(k+1)^3,则x^(k+1)>=(k+1)^3
根据数学归纳法,3^n>=n^3
而 3k^3>=(k+1)^3,即3k^3>=k^3+3k^2+3k+1,2k^3-3k^2-3k-1>=0 .(1)
令 f(x)=2x^3-3k^2-3x-1 (x>1,x为整数)
f'(x)=6x^2-6x-3=6(x^2-x-1/2)=6[(x-1/2)^2-3/4]
显然f'(x)是增函数,当 x>1时,f'(x)>=f(2)=6[(2-1/2)^2-3/4]=6[9/4-3/4]=9>0
f'(x)>0,f(x)也是增函数
f(1)=2-3-3-1=-62时,f(x)>0恒成立
因此k>2时,(1)恒成立
根据题设k>3,所以（1）恒成立
从而假定是成立的
因此3^n>=n^3,等式只有在 n=3 时成立