如何证明n阶希尔伯特矩阵可逆?貌似用科学归纳法,提示给的高斯消元法,化成最简阶梯式然后求行列式的值

Question

如何证明n阶希尔伯特矩阵可逆?貌似用科学归纳法,提示给的高斯消元法,化成最简阶梯式然后求行列式的值

Answer 1

如果学过内积和度量矩阵,可以比较简单的证明这一点.
考虑实数域R上的n维线性空间R[x]_n,即由关于x的次数小于n的实系数一元多项式构成的线性空间.
对f,g ∈ R[x]_n,定义(f,g) = ∫{0,1} f(x)g(x)dx.
不难验证(·,·)是双线性的,此外(f,f) = ∫{0,1} f(x)²dx ≥ 0,且等号成立当且仅当f = 0.
因此(·,·)是R[x]_n上的一个内积.
R[x]_n有一组基1,x,x²,...,x^(n-1),考虑上述内积在这组基下的度量矩阵A = (a_ij).
有a_ij = (x^(i-1),x^(j-1)) = ∫{0,1} x^(i-1)·x^(j-1)dx = ∫{0,1} x^(i+j-2)dx = 1/(i+j-1).
因此A就是n阶Hilbert矩阵.
而内积的度量矩阵总是正定矩阵,因此也是可逆的,即得Hilbert矩阵可逆.
其实数学归纳法也是可行的,但是有一定技巧性,以n = 4为例:
1/1 1/2 1/3 1/4
1/2 1/3 1/4 1/5
1/3 1/4 1/5 1/6
1/4 1/5 1/6 1/7
依次从第1行减去第2行,第2行减去第3行,第3行减去第4行,反复利用1/m-1/n = (n-m)/(mn)得:
1/(1·2) 1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
再依次从第1行减去第2行,第2行减去第3行,得:
2/(1·2·3) 2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6) 2/(5·6·7)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
然后从第1行减去第2行,得:
2·3/(1·2·3·4) 2·3/(2·3·4·5) 2·3/(3·4·5·6) 2·3/(4·5·6·7)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6) 2/(5·6·7)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
分别从第1,2,3行依次提出因子3!,2!,1!得(行列式提出因子1!·2!·3!):
1/(1·2·3·4) 1/(2·3·4·5) 1/(3·4·5·6) 1/(4·5·6·7)
1/(2·3·4) 1/(3·4·5) 1/(4·5·6) 1/(5·6·7)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/(6·7)
1/4 1/5 1/6 1/7
分别从第1,2,3,4列依次提出因子1/4,1/5,1/6,1/7得(行列式提出因子3!/7!):
1/(1·2·3) 1/(2·3·4) 1/(3·4·5) 1/(4·5·6)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6)
1/3 1/4 1/5 1/6
1 1 1 1
依次从第1列减去第2列,第2列减去第3列,第3列减去第4列,得:
3/(1·2·3·4) 3/(2·3·4·5) 3/(3·4·5·6) 1/(4·5·6)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6) 1/(5·6)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6) 1/6
0 0 0 1
按第4行展开得:
3/(1·2·3·4) 3/(2·3·4·5) 3/(3·4·5·6)
2/(2·3·4) 2/(3·4·5) 2/(4·5·6)
1/(3·4) 1/(4·5) 1/(5·6)
分别从第1,2,3列提出因子1/4,1/5,1/6,从1,2行提出因子3,2得(行列式提出因子3!·3!/6!):
1/(1·2·3) 1/(2·3·4) 1/(3·4·5)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/3 1/4 1/5
分别将第1,2行乘以因子2!,1!得(行列式提出因子1/(1!·2!)):
2/(1·2·3) 2/(2·3·4) 2/(3·4·5)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/3 1/4 1/5
将第1行加上第2行,得:
1/(1·2) 1/(2·3) 1/(3·4)
1/(2·3) 1/(3·4) 1/(4·5)
1/3 1/4 1/5
依次将第2行加上第3行,第1行加上第2行,得:
1/1 1/2 1/3
1/2 1/3 1/4
1/3 1/4 1/5
即得n = 3的Hilbert矩阵.
于是det(H_4) = det(H_3)·(3!)^4/(6!·7!).
对一般的n,上述过程同样适用,det(H_n) = det(H_(n-1))·((n-1)!)^4/((2n-2)!·(2n-1)!).