大一数学矩阵A与矩阵B等价的充要条件为什么是r(A)=r(B)=r(A,B)或r(B,A)呢?帮忙解释得浅显点,谢谢了.

Question

大一数学
矩阵A与矩阵B等价的充要条件为什么是r(A)=r(B)=r(A,B)或r(B,A)呢?帮忙解释得浅显点,谢谢了.

Answer 1

如果矩阵A经过有限次初等变换后成为矩阵B,则称A与B等价（等价的定义）
任何矩阵经初等变换后其秩不变（定理,证明略）
所以等价能推出秩相同,即R（A）=R（B）,由于A,B等价,所以它们经过初等变换后是能够相等的,那么化简R（A,B）或R（B,A）到阶梯矩阵可以知道其秩还是R（A）或R（B）.必要性得证.
如果A的秩为R,那么经过有限次初等变换都能化成等价标准型[EA,0
0 ,0]
的样子,其秩为R,所以当B的秩也是R时,经过有限次初等变换也能化成这么一个形式,于是B和A等价.另2个同理可证.充分性得证.