高数格林公式的问题曲线积分Xdy-Ydx/(x平方+y平方)在（00）点挖个洞但是二重积分的间断点也可以用原始的方法解决将曲线积分化为二重积分这里的原点不可以理解为间断点吗?为什么还

Question

高数格林公式的问题
曲线积分 Xdy-Ydx/(x平方+y平方) 在（0 0）点挖个洞 但是二重积分的间断点也可以用原始的方法解决 将曲线积分化为二重积分 这里的原点 不可以理解为间断点吗?为什么还要挖个洞来求
还有就是为什么挖个洞 就能求出 挖的洞不还是不存在(0

Answer 1

首先,没见过多元函数里有“间断点”的概念（数学系的会有?）
总之,这个(0,0)是无定义点,自然也是偏导不连续点
不满足格林公式的使用条件,那自然是不能直接使用的
于是,想用就必须补线,也就是“挖洞”
但挖洞要有技巧
注意到这里的洞是由于分母F(x,y)为零的地方产生的
于是补的线要根据F(x,y)的形式来补（F是圆,补的就是圆;是椭圆,补的就是椭圆）
这里补的线就是l: F(x,y) = x²+y² = r²,其中r足够小
这样做是因为线积分能够将曲线方程代入被积函数中,这样就消去了无定义点
即 ∮(xdy-ydx)/(x²+y²) = ∮(xdy-ydx)/r² = (1/ r²)∮xdy-ydx 【积分路径为l】
原积分化为
∮(xdy-ydx)/(x²+y²) 【积分路径为l】
=∮(xdy-ydx)/(x²+y²) - (1/ r²)∮xdy-ydx 【前者积分路径为L+l,后者积分路径为l】
这样前者避开了(0,0)点,可使用格林公式了
后者将曲线方程代入被积函数后消去了无定义点,再使用格林公式也无妨了