用积分求解球面积的推导步骤要解闭合曲面积分公式（闭合曲面积分ds）那个

Question

用积分求解球面积的推导步骤
要解闭合曲面积分公式 （闭合曲面积分ds） 那个

Answer 1

用对面积的曲面积分喽
假设曲面的方程是x^2＋y^2＋z^2＝R^2,由对称性,只考虑第一卦限部分的面积
第一卦限的球面的方程是z＝√(R^2-x^2-y^2),αz/αx＝－x/z,αz/αy＝－y/z
dS＝Rdxdy/√(R^2-x^2-y^2)
第一卦限的球面在xoy面的投影区域是D：x^2＋y^2≤R^2,x≥0,y≥0
所以,球面面积S＝8∫∫Rdxdy/√(R^2-x^2-y^2)＝8∫(0～π/2)dθ∫(0～R) R/√(R^2-ρ^2)ρdρ＝4πR∫(0～R) 1/√(R^2-ρ^2)ρdρ＝4πR^2