请问怎么证明爱因斯坦的相对论中速度相加的公式,求图片最好

Question

请问怎么证明爱因斯坦的相对论中速度相加的 公式,求图片最好

Answer 1

目前多数书本或文章中的狭义相对论速度叠加公式都是错误的,原因是在推导过程中默认以太为参照物,并且违背了“一切物理定律在任何惯性系上都有着相同的形式”及“任何惯性系上的真空中的光速不变”的相对论基本前提.

 

这里将要给出的是正确的狭义相对论的速度叠加公式（由洛伦兹变换导出）.

在推导（不是证明）速度叠加公式之前,我们要先复习一下洛伦兹变换的推导过程,因为推导速度叠加公式的过程中要多次用到洛伦兹变换及推导过程中的一部份思路和方法.

 

上图中A是相对O以速度v运动的惯性系,B上A系统上的一点.

在A运动到与O生命的时刻,一光子由A射向B.

因为光速不变,都是c,所以在A 系统上看,光子的路径是ct',在O 系统上看,光子的路径是ct,并且在t 时间内A 相对O 移动了vt 的距离.

这三个长度的关系是（勾股定理）：(ct')²+(vt)²＝(ct)²

等式变换解得t'：t'＝t√(1－v²/c²)

 

洛伦兹变换公式推导完了,但是我们必须再审视一下这个公式的意义,从上面的图中很明显的看出,相对速度v的大小,对ct'其实没任何影响,影响的只是在O上观测到的数据ct.因此,从物理意义上说,是由于相对速度,参照系上看到的时间要比“真实时间”快.因此,洛伦兹变换不能支持“速度越快,时间越慢”这样的说法.反面是说明速度越快看上去的时间越快.

因此,变换公式就是在观测数据t上乘一个小于1的因子,求得对方的观测值（或叫“真实值”）.这就像我们看远处的东西会变小一样,要计算真实大小就必须乘一个大于1的因子.

 

下面推导一下速度叠加公式：注意这里的推导是不存在光程差的绝对推导,就像洛伦兹变换的推导中不含光程差一样.

参见下面的动画演示：

设有三个性系：O、A、C,O上的时间是t,A上的时间是t',C上的时间是t".

A相对O的速度是v1,C相对A的速度是v2,C相对O的速度是v.

由洛伦兹变换可知：

在A系统上测量C的时间有公式：t"＝t'√(1－v2²/c²)

在O系统上测量A的时间有公式：t'＝t√(1－v1²/c²)

在O系统看C系统,有公式：　(ct")²＋(vt)²＝(ct)²

 

三个方程联立, 首先把t" 和t' 替换成t 的函数.

(ct")²＋(vt)²＝(ct)²

替换t"：(ct'√(1－v2²/c²))²+(vt)²=(ct)²
替换t'：(ct√((1－v2²/c²) (1－v1²/c²)))²+(vt)²=(ct)²
开根号：(ct)²(1－v2²/c²) (1－v1²/c²)+(vt)²=(ct)²
调等式：(vt)²=(ct)²-(ct)²(1－v2²/c²) (1－v1²/c²)
求速度：v²=c²-c²(1－v2²/c²) (1－v1²/c²)
v=√(v1²+ v2²)√(1-v12v22/( v1²+v2²)/c²)

 

即：

 

这就是我们所要的速度叠加公式了.可能你注意到了,c是常数,不是变量,所以这里面的速度v只与速度v1和v2有关,与任何其他因素无关.因此,这里面不存在无法逆运算的问题.只要知道两个速度就一定能正确的求得第三个速度.至于如何把v1 或v2 变换到等号左边就是等式变换的问题了.

 

多说几句：

题问者问的是如何证明速度叠加公式,可以为样说,现在常见的或大多数书籍和文章中引用的速度叠加公式是错误的,所以无法用相对论的理论来证明.

看过这些书或文章中的推导就会发现,很多推导过程中引入了以太（没明说,但默认）为参照系的数据.同时速度叠加公式中不仅仅是速度参数,还包含有距离参数,意思是不同的距离对速度也有影响,这与惯性系速度恒定的前提相悖,所以不用证明也知道是错误的.