定义法求exp(x)的导数好难……

Question

定义法求exp(x)的导数
好难……

Answer 1

⊿y=e^(x+⊿x)-a^x=e^x(e^⊿x-1)
exp'(x)=⊿y/⊿x=e^x(e^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β＝e^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：⊿x=ln(1+β).
所以(e^⊿x-1)/⊿x＝β/ln(1+β)=1/[ln(1+β)^(1/β)]
显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^(1/β)=e,
所以lim(β→0)1/ln(1+β)^(1/β)=1/lne=1.
把这个结果代入lim(⊿x→0)⊿y/⊿x=lim(⊿x→0)e^x(e^⊿x-1)/⊿x后
得到lim(⊿x→0)⊿y/⊿x=e^x.
即：exp'(x)=e^x=exp(x)
里面关键是换了一下元,用了一下重要极限.