微积分的电学,力学意义是什么?还有其他的什么意义吗?是否有光学的?

Question

微积分的电学,力学意义是什么?还有其他的什么意义吗?是否有光学的?

Answer 1

你所说的“微积分的电学,力学意义”指的应该是微积分能在电学、力学中应用所包含的深层次物理本质,即电学、力学满足线性叠加原理.
微积分说到底就是求和,而电学、力学问题能用微积分处理,说明其可分解为若干微元过程,并且这若干过程的总合（积分）,就是需要处理的问题.可分解能积分,就说明满足线性叠加原理.
举个例子,当知道两个带电体电荷分布情况,我们可以根据库仑定律来求这两个带电体力的相互作用——问题是,库仑定律描述的是真空中两个点电荷的相互作用,怎么能用来处理两个带电体问题,显然既然有电荷的分布函数,带电体当然不能再看做点电荷了,这是为什么呢?原来,实验证明了空间存在多个点电荷时,任一点电荷所受之力等于其他各个电荷对其作用力之和————这就是线性叠加原理,所以两个带电体显然可以看为若干个点电荷组成的,总的作用力就可以用积分表达出来了.不要看线性叠加原理简单,事实上如果不满足线性叠加原理,牛顿运动方程将不会是这样简练形式,电磁学也不可能产生Maxwell方程组.我们看到的世界这样简单且易于理解,正是因为很多物理规律满足线性叠加原理.
（这段可以忽略不看）相反地,如果一个过程是非线性的,描述的方程就是非线性偏微分方程（涉及过称演化问题,一般而言,是关于时间和坐标的偏微分方程）,对于这些方程,一般没有精确解,而且解过分依赖于初始条件,初始条件发生微小变化,解就可能完全不同,所以这样的方程描述的过程是很不稳定的.很多时候,非线性过程是“不可理喻”的（当然这可能是因为人类知识层次的关系）.
有线性叠加原理的地方,就可以有微积分,光学也不例外.