微积分题目,求破解设一物体的温度为100℃,将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.根据冷却定律,物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比,设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T

Question

微积分题目,求破解 设一物体的温度为100℃,将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.根据冷却定律,物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比,设物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t),求函数表达式T(t)

Answer 1

设传热速率与温差比例为k,物体温度降低,可令 dT/dt = -k(T-20)
对该式变形得 dT/(T-20) = -kdt
积分,得 ln(T-20) = -kt + 常数
T-20 = e^(-kt) × e^常数 = 常数×e^-kt
物体初始温度100℃,将(t=0,T=100)代入上式,得e^-kt的系数为80
所以,T-20 = 80e^-kt
T = 20 + 80e^-kt
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