证明有无穷多个形如3n+1的素数如果要用到超过本科的知识请在解答的后面附上参考书目,谢~特别注意一下,两个3n+2之积是3n+1的,所以一般那种素数相乘再加1的方法是不对的

Question

证明有无穷多个形如3n+1的素数
如果要用到超过本科的知识请在解答的后面附上参考书目,谢~
特别注意一下,两个3n+2之积是3n+1的,所以一般那种素数相乘再加1的方法是不对的

Answer 1

用反证法就可以了.
设存在有限个形如3n+1的素数,
其中最大的一个是3k+1
那么将3k+1之前的除去3的所有素数乘起来 2*5*7*11*.(3k+1)
令S=2*5*7*11*.(3k+1)
由于S中没有素因数3,所以S不是3的倍数,只能是3n+1或者3n+2的形式,而且还是偶数.

①如S=3n+1,
那么S+3就是3n+1的形式,且不含有2——(3k+1)中的任意一个数为因数,即为素数.
②如S=3n+2,
那么S-1还是3n+1的形式,也不含有2——(3k+1)中的任意一个数为因数,也为素数.
此时,S-1=2*5*7*11…（3k+1）-1>3k+1

那么就说明①②两种情况都存在一个比3k+1还大的形如（3n+1）的素数,
所以对于任意满足上述条件且形如3k+1的数,
都存在一个形如（3n+1）的素数.
与假设矛盾,所以存在无限个形如（3n+1）的素数
所以原命题得证.