为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度（单位：cm），其频率分布直方图如图所示（1）求该植物样本高度的平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作

Question

为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度（单位：cm），其频率分布直方图如图所示

（1）求该植物样本高度的平均数

x

和样本方差s²（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）假设该植物的高度Z服从正态分布N（μ，a²），其中μ近似为平均数

x

，a²近似为样本方差s²，利用该正态分布求P（64.5<Z<96）
附：√(110)≈10.5，若Z～N（μ，a²），则P（μ-ɛ<Z<μ+ɛ）=0.6826，P（μ-2ɛ<Z<μ+2ɛ）=0.9544．

Answer 1

（1）根据频率分布直方图，得；
该植物样本高度的平均数是

.

x

=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75，
方差是
s²=（55-75）²×0.1+（65-75）²×0.2+（75-75）²×0.35+（85-75）²×0.3+（95-75）²×0.05=110；
（2）由（1）知，Z～N（75，110），
从而P（64.5<Z<75）=(1)/(2)×P（75-10.5<Z<75+10.5）
=(1)/(2)×0.6826
=0.3413，
P（75<Z<96）=(1)/(2)×P（75-2×10.5<Z<75+2×10.5）
=(1)/(2)×0.9544
=0.4772；
∴P（64.5<Z<96）=P（64.5<Z<75）+P（75<Z<96）
=0.3413+0.4772
=0.8185．