设随机变量X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差．

Question

设随机变量X和Y的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差．

Answer 1

由已知可得，三角形区域为G={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}，
随机变量X和Y的联合密度为：
f（x，y）=

2， 若(x，y)∈G

0 ，若(x，y)∉G

以f₁（x）表示X的概率密度，则当x≤0或x≥1时，
f₁（x）=0，当0＜x＜1时，有
f₁（x）=

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy=

∫

1 1−x

2dy=2x
因此：EX=

∫

1 0

2x2dx=(2)/(3)
EX²=

∫

1 0

2x3dx=(1)/(2)
DX=EX²-[EX]²=(1)/(2)−(4)/(9)=(1)/(18)
同理可得：
EY=(2)/(3)，DY=(1)/(18)
下面求X和Y的协方差
EXY=

∬

G

2xydxdy=2

∫

1 0

xdx

∫

1 1−x

ydy=(5)/(12)
Cov（X，Y）=EXY-EXEY=(5)/(12)−(4)/(9)=-(1)/(36)
于是
DU=D（X+Y）=DX+DY+2Cov（X，Y）=(1)/(18)+(1)/(18)-(2)/(36)=(1)/(18)