求该正态分布的密度一个点的横纵坐标皆满足正态分布,求它至原点的距离的密度

Question

求该正态分布的密度
一个点的横纵坐标皆满足正态分布,求它至原点的距离的密度

Answer 1

首先它的位置分布为
f(x,y)
=(1/2π)^(1/2)*e^(-x^2)*(1/2π)^(1/2)*e^(-y^2)
=(1/2π)*e^(-x^2-y^2)
因 f(x,y)dxdy = f(ρ,φ)dρdφ,而dxdy=ρdρdφ,且x^2+y^2=ρ^2,故
f(ρ,φ)
=(ρ/2π)*e^(-ρ^2)
最后,距离分布为
f(ρ)= 2π*f(ρ,φ) = ρe^(-ρ^2)