在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ2），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均

Question

在一次全国高中五省大联考中，有90万的学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N（μ，σ²），如表用茎叶图列举了20名学生英语的成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9．

（1）求μ，σ；
（2）给出正态分布的数据：P（μ-σ<X<μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ<X<μ+2σ）=0.9544．
（i）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率；
（ii）若从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，求X的数学期望．

Answer 1

（1）由茎叶图得这20个数据的平均数：

.

x

=(1)/(20)（79+80+81+82+87+87+88+88+89+90×4+91+92+93+93+100+101+109）=90，
∵这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9，
英语成绩服从正态分布N（μ，σ²），
∴μ=90-0.9=89.1，σ=√(49.9-0.9)=7．
（2）（i）∵英语成绩服从正态分布N（89.1，49），P（μ-σ<X<μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ<X<μ+2σ）=0.9544，
∴P（82.1<X<96.1）=0.6826，P（75.1<X<103.1）=0.9544，
由题知x服从正态分布N（89.1，49），作出相应的正态曲线，如图，
依题意P（82.1<X<96.1）=0.6826，P（75.1<X<103.1）=0.9544，
即曲边梯形ABCD的面积为0.9544，曲边梯形EFGH的面积为0.6826，
其中A、E、F、B的横坐标分别是75.1、82.1、96.1、103.1，
由曲线关于直线x=89.1对称，可知曲边梯形EBCH的面积为0.9544-(0.9544-0.6826)/(2)=0.8185，
即该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．
（3）∵从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在（82.1，103.1）的概率为0.8185．
∴从这90万名学生中随机抽取1万名，记X为这1万名学生中英语成绩在在（82.1，103.1）的人数，
X的数学期望E（X）=0.8185×10000=8185．