假定X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本；已知E（Xk）=ak（k=1，2，3，4）．证明：当n充分大时，随机变量Zn=1nni＝1X2i，近似服从正态分布，并指出其分布参数．

Question

假定X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的简单随机样本；已知E（X^k）=a_k（k=1，2，3，4）．证明：当n充分大时，随机变量Z_n=(1)/(n)

n

i＝1

X

2 i

，近似服从正态分布，并指出其分布参数．

Answer 1

由题意，知X₁，X₂，…，X_n独立同分布，因此X12，X22，…，Xn2独立同分布
又已知E（X^k）=a_k（k=1，2，3，4）．
∴EXi2＝α2
∴DXi2＝E(Xi4)−[EXi2]2＝α4−α22
∴EZn＝(1)/(n)

n

i＝1

EXi2＝α2，DZn＝(1)/(n2)

n

i＝1

DXi2＝(1)/(n)(α4−α22)
∴由中心极限定理，知
Un＝(Zn−EZn)/(√(DZn))＝(Zn−α2)/(√((α4−α22)/(n)))
的极限分布是标准正态分布，即当n充分大时，Z_n近似服从参数
(α

作业搜用户 2017-10-16