求定积分∫exp(-x^2/2)dx,积分区间是（0,a).这个积分实际上就相当于把标准正态分布的概率密度函数在区间(0,a)上进行积分,为了输入方便,我把前边的系数省略了.

Question

求定积分∫exp(-x^2/2)dx,积分区间是（0,a).这个积分实际上就相当于把标准正态分布的概率密度函数在区间(0,a)上进行积分,为了输入方便,我把前边的系数省略了.

Answer 1

【∫exp(-x^2/2)dx】^2
=∫exp(-x^2/2)dx∫exp(-x^2/2)dx
=∫exp(-y^2/2)dy∫exp(-x^2/2)dx
=∫∫exp(-x^2-y^2/2)dxdy
用极坐标代换
=∫∫r*exp(-r^2/2)drdθ
=2π*[-exp(-r^2/2)] r从0到a
=2π[1-exp(-a^2/2)]
因此∫exp(-x^2/2)dx={2π[1-exp(-a^2/2)]}^(1/2)
特别说一下,当a为正无穷时,可知上式的极限为√(2π)
因此
∫exp(-x^2/2)dx,在区间（0,正无穷)上的积分为√(2π)