如图，设四棱锥S-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=2．（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面ADS与平面ABS所夹角的余弦值．

题目详情

如图，设四棱锥S-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=

．
（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面ADS与平面ABS所夹角的余弦值．

▼优质解答

答案和解析

（Ⅰ）证明：连接AC，取AB的中点E，连接SE、EC，
∵SA＝SB＝

，
∴SE⊥AB，AB=2，∴SE=1，
又四棱锥S-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=2，
∴CE＝

，
又SC=2，∴SC²=CE²+SE²，
∴SE⊥EC，
∵AB∩EC=E，
∴SE⊥面ABCD，
∵SE⊂平面SAB，
∴平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，分别以EC，EB，ES为x轴、y轴、z轴的正半轴建立建立空间直角坐标系．
则面ABS的一个法向量

=（1，0，0），A（0，-1，0），S（0，0，1），D(

，−2，0)，
∴

＝(

，−1，0)，

＝(0，1，1)，
设面ADS的法向量

=（x，y，z），
则

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