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如图，设四棱锥S-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=2．（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面ADS与平面ABS所夹角的余弦值．
题目详情
如图，设四棱锥S-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=SC=2，SA=SB=| 2 |
（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求平面ADS与平面ABS所夹角的余弦值．
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）证明：连接AC，取AB的中点E，连接SE、EC，
∵SA＝SB＝
，
∴SE⊥AB，AB=2，∴SE=1，
又四棱锥S-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=2，
∴CE＝
，
又SC=2，∴SC2=CE2+SE2，
∴SE⊥EC，
∵AB∩EC=E，
∴SE⊥面ABCD，
∵SE⊂平面SAB，
∴平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，分别以EC，EB，ES为x轴、y轴、z轴的正半轴建立建立空间直角坐标系．
则面ABS的一个法向量
=（1，0，0），A（0，-1，0），S（0，0，1），D(
，−2，0)，
∴
＝(
，−1，0)，
＝(0，1，1)，
设面ADS的法向量
=（x，y，z），
则
（Ⅰ）证明：连接AC，取AB的中点E，连接SE、EC，∵SA＝SB＝
| 2 |
∴SE⊥AB，AB=2，∴SE=1，
又四棱锥S-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=2，
∴CE＝
| 3 |
又SC=2，∴SC2=CE2+SE2，
∴SE⊥EC，
∵AB∩EC=E，
∴SE⊥面ABCD，
∵SE⊂平面SAB，
∴平面SAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，分别以EC，EB，ES为x轴、y轴、z轴的正半轴建立建立空间直角坐标系．
则面ABS的一个法向量
| m |
| 3 |
∴
| AD |
| 3 |
| AS |
设面ADS的法向量
| n |
则
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