设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．（1）求f（π）的值；（2）当-4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积；（3）写出（-∞，+∞）内函数

Question

设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x．
（1）求f（π）的值；
（2）当-4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积；
（3）写出（-∞，+∞）内函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）由f（x+2）=-f（x）得，f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，
∴f（π）=f（-1×4+π）=f（π-4）=-f（4-π）=-（4-π）=π-4．
（2）由f（x）是奇函数与f（x+2）=-f（x），得：f[（x-1）+2]=-f（x-1）=f[-（x-1）]，即f（1+x）=f（1-x）．
故知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
又0≤x≤1时，f（x）=x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示．

当-4≤x≤4时，f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=4S_△OAB=4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1((1)/(2)×2×1))=4．
（3）函数f（x）的单调递增区间为[4k-1，4k+1]（k∈Z），单调递减区间[4k+1，4k+3]（k∈Z）