一个奇函数和一个偶函数的和可以肯定他们的和是奇函数还是偶函数,或者是非奇非偶函数吗?

Question

一个奇函数和一个偶函数的和
可以肯定他们的和是奇函数还是偶函数,或者是非奇非偶函数吗?

Answer 1

非奇非偶.
任何一个非奇非偶函数都能表示成一个偶函数和一个奇函数的和.一个偶函数不能表示成偶函数和奇函数的和,而奇函数也不能表示成非零的偶函数和奇函数的和.
证明：
如果f(x)是任意非奇非偶函数,
另:
g(x) = [ f(x) + f(-x) ] /2
h(x) = [ f(x) - f(-x) ] /2
则：
g(-x) = [ f(-x) + f(x) ] /2 = [ f(x) + f(-x) ] /2 = g(x)
h(-x) = [ f(-x) - f(x) ] /2 = -[ f(x) - f(-x) ] /2 = -h(x)
g(x) + h(x) = f(x)
显然：
g(x)为偶函数
h(x)为奇函数
且g(x) + h(x) = f(x)
证毕