过圆x^2+y^2-10x=0内一点P(5,3)的k条弦的长度组成等差数列,且最小弦长为数列的首项a1,最大弦长为数列的末项ak,若公差d∈[1/3,1/2],则k的最大值是

Question

过圆x^2+y^2-10x=0内一点P(5,3)的k条弦的长度组成等差数列,且最小弦长为数列的首项a1,最大弦长为数列的末项ak,若公差d∈[1/3,1/2],则k的最大值是_______

Answer 1

圆化为标准方程：(x-5)²+y²=25,圆心C(5,0),半径r=5
（1）当 CP垂直与弦时,弦最短,由于 |CP|=3,所以 由勾股定理,得 (a1/2)²=r²-|CP|²=16
a1/2=4,a1=8
（2）最大弦为直径,从而 ak=2r=10
由于 ak=a1+(k-1)d,得 (k-1)d=2
k=2/d +1
因为 公差d∈[1/3,1/2],所以 2/d∈[4,6],
k∈[5,7],
即k的最大值是7