汽车每隔一定的时间发一次车,有一个骑自行车,发现从背后每隔12分钟开过来一辆汽车,而迎面每隔4分钟有一辆汽车驶来.问车站每隔多少时间发一辆车?

Question

汽车每隔一定的时间发一次车,有一个骑自行车,发现从背后每隔12分钟开过来一辆汽车,而迎面每隔4分钟有一辆汽车驶来.问车站每隔多少时间发一辆车?

Answer 1

答案是每隔6分钟发出一辆车.
本题实质上是由相遇模型与追及模型组合而成的,因此在解题过程中要分别为两个模型寻求关系．
由于是以间隔相同的时间发车,所以在这两个车站间的这段公路上,不论是什么时刻,同向行驶的所有车辆,两车间的距离都是相等的.
解答方法有：
■ 因为每隔一定时间发一辆公交车,所以在途中任意同方向的相邻两辆公交车相隔的路程都是相等的.我们不妨设为单位“1”.
当此人第一次被背面开过来的车超过时,他与后面一辆公交车之间的路程是单位“1”.此人经过12分钟后与后面追上来的车相遇（即第二次被同一路公交车超过）,则说明在12分钟内汽车比人多行了单位“1”的路程,所以每分钟汽车比人多行了单位“1”的1/12.（可以看作追及问题）
当此人与迎面开过来的公交车在第一次相遇时,他与迎面开来的第二辆车之间的路程是单位“1”.此人经过4分钟后与这辆车相遇（即第二次与同一路公交车相遇）,则说明在4分钟内汽车和人共行了单位“1”的路程,所以每分钟汽车和人共行了单位“1”的1/4.（可以看作相遇问题）
根据以上两个结果,利用和差原理,可以求得汽车每分钟行了单位“1”的（1/12+1/4）÷2=1/6,所以汽车行完单位“1”的路程要1÷1/6=6分,因此汽车总站每隔6分钟发一辆车.
■ ①汽车间隔距离=汽车12分钟行程-自行车12分钟行程.
②汽车间隔距离=汽车4分钟行程+自行车4分钟行程,
即：3×发车间隔距离=电车12分钟行程+自行车12分钟行程,
利用和差问题解法：汽车12分钟行程=汽车间隔距离*（1+3）÷2
即 发车间隔距离=汽车6分钟行程
■ 因为 相遇时间间隔 :追及时间间隔=1:3；
所以 （车速+人速）:（车速-人速）=3:1；
那么可以设（车速+人速）为3份,（车速-人速）为1份.
所以可以求出车速为2份,人速为1份.
车速 :（车速-人速）2:1；
所以 发车时间间隔 :追及时间间隔1:2.
所以发车时间间隔为：12÷2= 6（分钟）
■ 设公交车每隔t分钟发出一辆车.
假设此人在第一次时在a地有一辆公交车超过他,那么t分钟后就有第二辆车开到第一次公交车超过人的地方（即a点）.此人经过12分钟走了一段距离后到达b点,此时第二辆车也追上此人,所以第二辆公交车从a点到b点用了(12-t)分钟.因此此人12分钟所行的路程等于公交车(12-t)分钟所行的路程,则此人与公交车的速度比是(12-t)∶12.
然后,仍然假设此人第一次遇到对面开来的公交车在a点,再过t分钟第二辆同方向开来的公交车开过a点.现在此人已经走了4分钟,且与对面开来的第二辆公交车在c点相遇,所以公交车从c点到a点共用去(t-4分钟,这就是说此人4分钟所行的路程等于汽车(t-4)分钟所行的路程,则此人与汽车的速度比是(t-4)∶4.
根据以上两个结果,可以得到：
(12-t)∶12=(t-4)∶4
解得 t=6
即每隔6分钟发出一辆公交车.
■汽速:a 人速:b 隔x分发一次车
不论在什么情况下,两辆车的距离不变,为下面的两个等式
(a-b)12=(a+b)4……..………①
(a+b)4=ax……………………②
由①得8a=16b
a=2b…………………………③
把③代入②得12b=2bx
x=6
■:设同向两辆汽车的距离为s(即每隔相同时间汽车所走的距离)
对于迎面开来的汽车,那么人和汽车共同走完s,
因为,每4分钟迎面开来一辆车,说明人也走了4分钟,
设走的4分钟路如果让汽车来走,所用的时间为为t,则汽车相隔的时间为4+t.
对于从后面开来的汽车,那么汽车追上骑车人所走的路程为一个s+(人走的路程).那么人走这段路程也用了12分钟,人走这段12分钟路程如果让汽车来走的话,所用的时间为3t(因为人的4分的路程相当于汽车的t 分钟).汽车相隔时间为12-3t
所以 12-3t=t+4
所以t=2,
即,相隔时间为4+t=6分钟