一个容器是倒置的等边圆锥,当所盛水深是容器高的一半时,将容器倒置,求水深与容器的比

Question

一个容器是倒置的等边圆锥,当所盛水深是容器高的一半时,将容器倒置,求水深与容器的比

Answer 1

设圆锥底面积为S,高为h,
当所盛水深是容器高的一半即h/2时,水面截圆锥所成圆面的面积为S/4,
则：易得水的体积V水＝(1/3)*(h/2)*(S/4)=(1/3)*(Sh/8)
又圆锥的体积V圆锥=(1/3)*Sh
所以：V水=V圆锥/8,则除开水圆锥余下部分体积V空＝(7/8)*V圆锥
又设将容器倒置后（即由原来的倒三角变为正三角）,水深为h′
则此时圆锥顶点到水面的距离为h-h′,水面截圆锥所成圆面面积为[(h-h′)/h]²*S
V空=(1/3[(h-h′)/h]²*S*(h-h′)＝(7/8)*V圆锥=(7/24)*Sh
上式化简得：[(h-h′)/h]³=7/8
所以：(h-h′)/h＝(7^(1/3))/2
即：h′/h＝1－(7^(1/3))/2
所以：将容器倒置后,水深与容器的高的比为1－(7^(1/3))/2