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在三角形ABC中,求证a[cos(C/2)]^2+c[cos(A/2)]^2=(a+b+c)/2
题目详情
在三角形ABC中,求证a[cos(C/2)]^2+c[cos(A/2)]^2=(a+b+c)/2
▼优质解答
答案和解析
cos(C/2)^2=(1+cosC)/2
cos(A/2)^2=(1+cosA)/2
要证
[a(1+cosC)+c(1+cosA)]/2=（a+b+c)/2
等价于
a+acosC+c+ccosA=a+b+c
等价于
acosC+ccosA=b
由余弦定理
左边
a(a^2+b^2-c^2)/2ab+c(b^2+c^2-a^2)/2bc
=(a^2+b^2-c^2+b^2+c^2-a^2)/2b
=b=右边
命题得证
cos(A/2)^2=(1+cosA)/2
要证
[a(1+cosC)+c(1+cosA)]/2=（a+b+c)/2
等价于
a+acosC+c+ccosA=a+b+c
等价于
acosC+ccosA=b
由余弦定理
左边
a(a^2+b^2-c^2)/2ab+c(b^2+c^2-a^2)/2bc
=(a^2+b^2-c^2+b^2+c^2-a^2)/2b
=b=右边
命题得证
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