设函数f（x）=1−|x−1|，x＜212f(x−2)，x≥2，则函数F（x）=xf（x）-1的零点的个数为．

Question

设函数f（x）=

1−|x−1|，x＜2

(1)/(2)f(x−2)，x≥2

，则函数F（x）=xf（x）-1的零点的个数为______．

Answer 1

∵F（x）=xf（x）-1，
∴由F（x）=xf（x）-1=0，
得f（x）=(1)/(x)，
设y=f（x）与y=(1)/(x)，在同一坐标系中分别画出两个函数图象，由图象即可求出两个函数的交点个数，即函数F（x）=xf（x）-1的零点个数．
作出函数y=f（x）与y=g（x）=(1)/(x)的图象如图：
当x＜0时，y=f（x）单调递增，y=(1)/(x)为减函数，此时函数f（x）与y=g（x）=(1)/(x)只有一个交点．
∵f（1）=1，g（1）=1，∴f（1）=g（1），此时1是函数的一个零点．
∵f（3）=(1)/(2)f(1)＝(1)/(2)，g（3）=(1)/(3)，满足f（3）＞g（3），∴此时在（2，4）内有两个交点．
∵f（5）=(1)/(2)f（3）=(1)/(4)，g（5）=(1)/(5)，满足f（5）＞g（5），∴此时在（4，6）内有两个交点，
∵f（7）=(1)/(2)f（5）=(1)/(8)，g（7）=(1)/(7)，满足f（7）＜g（7），∴此时在（6，8）内没有交点，
∵f（9）=(1)/(2)f(7)＝(1)/(16)，g（9）=(1)/(9)，满足f（9）＜g（9），∴此时在（8，10）内没有交点，
即当n＞7时，恒有f（x）＜g（x），此时，两个函数没有交点．
综上两个函数的交点个数为6个．
即函数F（x）=xf（x）-1的零点的个数为6个．
故答案为：6．