（2014•六盘水）如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的

Question

（2014•六盘水）如图，二次函数y=(1)/(2)x²+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．
（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S_△ADP=(1)/(2)S_△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

（1）∵二次函数y=(1)/(2)x²+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）
∴

(1)/(2)×22+2b+c＝0

(1)/(2)×82+8b+c＝6

，解得

b＝−4

c＝6

∴二次函数解析式为：y=(1)/(2)x²-4x+6，

（2）由y=(1)/(2)x²-4x+6，得y=(1)/(2)（x-4）²-2，
∴函数图象的顶点坐标为（4，-2），
∵点A，D是y=(1)/(2)x²+bx+c与x轴的两个交点，
又∵点A（2，0），对称轴为x=4，
∴点D的坐标为（6，0）．

（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．
∴C点的坐标为（4，0）
∵B（8，6），
设BC所在的直线解析式为y=kx+b，
∴

4k+b＝0

8k+b＝6

解得

k＝(3)/(2)

b＝−6

∴BC所在的直线解析式为y=(3)/(2)x-6，
∵E点是y=(3)/(2)x-6与y=(1)/(2)x²-4x+6的交点，
∴(3)/(2)x-6=(1)/(2)x²-4x+6
解得x₁=3，x₂=8（舍去），
当x=3时，y=-(3)/(2)，
∴E（3，-(3)/(2)），
∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=(1)/(2)×2×6+(1)/(2)×2×(3)/(2)=7.5．

（4）存在，
设点P到x轴的距离为h，
∵S_△BCD=(1)/(2)×2×6=6，S_△ADP=(1)/(2)×4×h=2h
∵S_△ADP=(1)/(2)S_△BCD
∴2h=6×(1)/(2)，解得h=(3)/(2)，
当P在x轴上方时，
(3)/(2)=(1)/(2)x²-4x+6，解得x₁=4+√(7)，x₂=4-√(7)，
当当P在x轴下方时，
-(3)/(2)=(1)/(2)x²-4x+6，解得x₁=3，x₂=5，
∴P₁（4+√(7)，(3)/(2)），P₂（4-√(7)，(3)/(2)），P₃（3，-(3)/(2)），P₄（5，-(3)/(2)）．