常函数是可导函数吗（急求高手作答）,还有,二次函数是函数吗?不是要一一对应的吗,而他可是多对一呀?

Question

常函数是可导函数吗（急求高手作答）,
还有,二次函数是函数吗?不是要一一对应的吗,而他可是多对一呀?

Answer 1

第一个问题：
常数函数当然可导,其导数是0.我们看函数f(x)在点x处导数的定义是
f'(x)=lim (Δx->0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx
那么,若f(x)=C,即为常函数,带入上面的式子
f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,而分母Δx无论多小,总是个不为0的数,所以
f('x)=0
从定性角度来说,导数是函数在某点的变化率,而常数的变化率是0（就是永远不变）.从几何角度说,导数是曲线在某点的斜率,那么常数是一条水平直线,因此斜率是0.
第二个问题：
现在的一般教材里把函数的定义写成
设X是一个非空数集,Y是非空数集 ,f是个对应法则 ,若对X中的每个x,按对应法则f,使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ,就称对应法则f是X上的一个函数,记作y＝f（x）.习惯上也说y是x的函数.这些教材没有区分单值函数与多值函数,给自学者和初学者带来很大困惑.
其实这是“单值函数”的定义,关键词在于那个“唯一的”,其实多值函数是大量存在的,比如反二次函数、圆、椭圆等,最厉害的反正弦（或反余弦）函数,对每一个x,都有无穷多个y与之对应.
而多值函数定义
设X是一个非空数集,Y是非空数集 ,f是个对应法则 ,若对X中的每个x,按对应法则f,使Y中至少存在一个元素y与之对应 ,就称对应法则f是X上的一个多值函数,记作y＝f（x）.
“唯一的”变成“至少存在一个”,于是单值函数可以看成多值函数的特例了.
我初学时曾被这个困惑过,当时也怀疑多值函数难道不是函数了?实在不理解数学教材的编写者为什么不严谨一些,纠正这个定义上的漏洞.