如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．

Question

如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．

Answer 1

（1）△BEC是直角三角形，
理由是：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，
由勾股定理得：CE=√(CD2+DE2)=√(22+12)=√(5)，
同理BE=2√(5)，
∴CE²+BE²=5+20=25，
∵BC²=5²=25，
∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．

（2）四边形EFPH为矩形，
证明：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．

（3）在RT△PCD中FC⊥PD，
由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，
∴CF=(4×2)/(2√(5))=(4)/(5)√(5)，
∴EF=CE-CF=√(5)-(4)/(5)√(5)=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． √(CD2+DE2)

CD2+DE2

CD2+DE2CD2+DE22+DE22=√(22+12)=√(5)，
同理BE=2√(5)，
∴CE²+BE²=5+20=25，
∵BC²=5²=25，
∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．

（2）四边形EFPH为矩形，
证明：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．

（3）在RT△PCD中FC⊥PD，
由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，
∴CF=(4×2)/(2√(5))=(4)/(5)√(5)，
∴EF=CE-CF=√(5)-(4)/(5)√(5)=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． √(22+12)

22+12

22+1222+122+122=√(5)，
同理BE=2√(5)，
∴CE²+BE²=5+20=25，
∵BC²=5²=25，
∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．

（2）四边形EFPH为矩形，
证明：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．

（3）在RT△PCD中FC⊥PD，
由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，
∴CF=(4×2)/(2√(5))=(4)/(5)√(5)，
∴EF=CE-CF=√(5)-(4)/(5)√(5)=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． √(5)

5

55，
同理BE=2√(5)，
∴CE²+BE²=5+20=25，
∵BC²=5²=25，
∴BE²+CE²=BC²，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．

（2）四边形EFPH为矩形，
证明：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．

（3）在RT△PCD中FC⊥PD，
由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，
∴CF=(4×2)/(2√(5))=(4)/(5)√(5)，
∴EF=CE-CF=√(5)-(4)/(5)√(5)=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． √(5)

5

55，
∴CE²2+BE²2=5+20=25，
∵BC²2=5²2=25，
∴BE²2+CE²2=BC²2，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．

（2）四边形EFPH为矩形，
证明：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．

（3）在RT△PCD中FC⊥PD，
由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，
∴CF=(4×2)/(2√(5))=(4)/(5)√(5)，
∴EF=CE-CF=√(5)-(4)/(5)√(5)=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． (4×2)/(2√(5))4×24×24×22√(5)2√(5)2√(5)

5

55=(4)/(5)√(5)，
∴EF=CE-CF=√(5)-(4)/(5)√(5)=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． (4)/(5)444555√(5)，
∴EF=CE-CF=√(5)-(4)/(5)√(5)=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． √(5)

5

55，
∴EF=CE-CF=√(5)-(4)/(5)√(5)=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． √(5)

5

55-(4)/(5)√(5)=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． (4)/(5)444555√(5)=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． √(5)

5

55=(1)/(5)√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． (1)/(5)111555√(5)，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． √(5)

5

55，
∵PF=√(PC2−CF2)=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． √(PC2−CF2)

PC2−CF2

PC2−CF2PC2−CF22−CF22=(8)/(5)√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． (8)/(5)888555√(5)，
∴S_矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． √(5)

5

55，
∴S_矩形EFPH矩形EFPH=EF•PF=(8)/(5)，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． (8)/(5)888555，
答：四边形EFPH的面积是(8)/(5)． (8)/(5)888555．