已知椭圆(a>b>0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，0)．证明．

Question

已知椭圆  ( a > b >0)， A 、 B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P ( x ₀ ，0)．证明 ．

Answer 1

已知椭圆  ( a > b >0)， A 、 B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 P ( x ₀ ，0)．证明 ．

证明见解析

本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．
证法一：设 A 、 B 的坐标分别为( x ₁ ， y ₁ )和( x ₂ ， y ₂ )．因线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交，故 AB 不平行于 y 轴，即 x ₁ ≠ x ₂ ．又交点为 P ( x ₀ ，0)，故| PA |=| PB |，即
( x ₁ － x ₀ ) ² + =( x ₂ － x ₀ ) ² +     ①
∵    A 、 B 在椭圆上，∴ ， ．
将上式代入①，得2( x ₂ － x ₁ ) x ₀ =     ②
∵    x ₁ ≠ x ₂ ，可得         ③
∵   － a ≤ x ₁ ≤ a ，－ a ≤ x ₂ ≤ a ，且 x ₁ ≠ x ₂ ，∴ －2 a < x ₁ + x ₂ <2 a ，
∴   
证法二：设 A 、 B 的坐标分别为( x ₁ ， y ₁ )和( x ₂ ， y ₂ )．因 P ( x ₀ ，0)在 AB 的垂直平分线上，以点 P 为圆心，| PA |= r 为半径的圆 P 过 A 、 B 两点，圆 P 的方程为( x － x ₀ ) ² + y ² = r ² ，
与椭圆方程联立，消去 y 得( x － x ₀ ) ² x ² = r ² － b ² ，
∴   ①
因 A 、 B 是椭圆与圆 P 的交点，故 x ₁ ， x ₂ 为方程①的两个根．由韦达定理得
x ₁ + x ₂ = x ₀ ．
因－ a ≤ x ₁ ≤ a ，－ a ≤ x ₂ ≤ a ，且 x ₁ ≠ x ₂ ，故－2 a < x ₁ + x ₂ = x ₀ <2 a ，
∴