高一数学题(三角函数)某工人要从一块圆心角为45度的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径为1cm,求割出的长方形桌面的最大面积.

Question

高一数学题(三角函数)
某工人要从一块圆心角为45度的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径为1cm,求割出的长方形桌面的最大面积.

Answer 1

连结OC.
设∠BOC=θ,则θ∈(0°,45°)
∴S长方ABCD=AB•BC
=(1•cosθ-1•sinθ)×(1•sinθ)
=sinθcosθ-sin2θ
=1/2sin2θ-1-cos2θ/2
=1/2 (sin2θ+cos2θ)- 1/2
=√2/2sin(2θ+45°)- 1/2
∵0°＜0＜45°→0°＜2θ＜90°→45°＜2θ+45°＜135°,
∴当2θ+45°=90°→θ=22.5°时,S长方形ABCD最大为√2-1/2 (平方米)
所以割出的长方形桌面的最大面积为√2-1/2平方米.