（2014•东城区二模）传送带被广泛应用于各行各业．由于不同的物体与传送带之间的动摩擦因数不同，物体在传送带上的运动情况也有所不同．如图所示，一倾斜放置的传送带与水平面的倾

Question

（2014•东城区二模）传送带被广泛应用于各行各业．由于不同的物体与传送带之间的动摩擦因数不同，物体在传送带上的运动情况也有所不同．如图所示，一倾斜放置的传送带与水平面的倾角θ=37°，在电动机的带动下以v=2m/s的速率顺时针方向匀速运行．M、N为传送带的两个端点，MN两点间的距离L=7m．N端有一离传送带很近的挡板P可将传送带上的物块挡住．在传送带上的O处先后由静止释放金属块A和木块B，金属块与木块质量均为1kg，且均可视为质点，OM间距离L=3m．sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦．
（1）金属块A由静止释放后沿传送带向上运动，经过2s到达M端，求金属块与传送带间的动摩擦因数μ₁．
（2）木块B由静止释放后沿传送带向下运动，并与挡板P发生碰撞．已知碰撞时间极短，木块B与挡板P碰撞前后速度大小不变，木块B与传送带间的动摩擦因数μ₂=0.5．求：
a．与挡板P第一次碰撞后，木块B所达到的最高位置与挡板P的距离；
b．经过足够长时间，电动机的输出功率恒定，求此时电动机的输出功率．

Answer 1

（1）金属块A在传送带方向上受摩擦力和重力的下滑分力，先做匀加速运动，并设其速度能达到传送带的速度v=2m/s，然后做匀速运动，达到M点．
金属块由O运动到M有     L＝(1)/(2)at12+vt2
即 (1)/(2)a

t

2 1

+2t2＝3     ①
且                t₁+t₂=t         
即   t₁+t₂=2       ②
v=at₁           即   2=at₁        ③
根据牛顿第二定律有   μ1mgcos370−mgsin370＝ma     ④
由①②③式解得    t₁=1s＜t=2s  符合题设要求，加速度a=2m/s²        
由①式解得金属块与传送带间的动摩擦因数μ₁=1                     
（2）a．由静止释放后，木块B沿传送带向下做匀加速运动，其加速度为a₁，运动距离L_ON=4m，第一次与P碰撞前的速度为v₁
a₁=gsinθ-μgcosθ=2m/s²        
 v1＝√(2a1LON)＝4m/s
与挡板P第一次碰撞后，木块B以速度v₁被反弹，先沿传送带向上以加速度a₂做匀减速运动直到速度为v，此过程运动距离为s₁；之后以加速度a₁继续做匀减速运动直到速度为0，此时上升到最高点，此过程运动距离为s₂．
a2＝gsinθ+μgcosθ＝10m/s2，
s1＝(v21−v2)/(2a2)＝0.6m
s2＝(v2)/(2a1)＝1m
因此与挡板P第一次碰撞后，木块B所达到的最高位置与挡板P的距离s=s₁+s₂=1.6m
b．木块B上升到最高点后，沿传送带以加速度a₁向下做匀加速运动，与挡板P发生第二次碰撞，碰撞前的速度为v₂
v2＝√(2a1(s1+s2))＝√(6.4)m/s
与挡板第二次碰撞后，木块B以速度v₂被反弹，先沿传送带向上以加速度a₂做匀减速运动直到速度为v，此过程运动距离为s₃；之后以加速度a₁继续做匀减速运动直到速度为0，此时上升到最高点，此过程运动距离为s₄．s3＝(v22−v2)/(2a2)＝0.12m
s4＝(v2)/(2a1)＝1m
木块B上升到最高点后，沿传送带以加速度a₁向下做匀加速运动，与挡板P发生第三次碰撞，碰撞前的速度为v₃
v3＝√(2a1(s3+s4))＝√(4.48)m/s
与挡板第三次碰撞后，木块B以速度v₃被反弹，先沿传送带向上以加速度a₂做匀减速运动直到速度为v，此过程运动距离为s₅；之后以加速度a₁继续做匀减速运动直到速度为0，此时上升到最高点，此过程运动距离为s₆．
s5＝(v23−v2)/(2a2)＝0.024m
s6＝(v2)/(2a1)＝1m
以此类推，经过多次碰撞后木块B以2m/s的速度被反弹，在距N点1m的范围内不断以加速度a₂做向上的减速运动和向下的加速运动．
木块B对传送带有一与传送带运动方向相反的阻力
F_f=μmgcosθ
故电动机的输出功率P=μmgvcosθ
解得P=8W．                                 
答：（1）金属块与传送带间的动摩擦因数为1；
（2）与挡板P第一次碰撞后，木块B所达到的最高位置与挡板P的距离为1.6m；
电动机的输出功率为8W．