烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A，B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量

Question

烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A，B两座烟囱相距20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低．

Answer 1

不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，
由AC=x（0＜x＜20），可得BC=20-x．           …（2分）
C处的烟尘浓度y的函数表达式为y=(k)/(x2)+(k•8)/((20−x)2)（0＜x＜20）．…（4分）
求导得y′=-(2k)/(x3)+(16k)/((20−x)3)=(2k(9x3−60x2+1200x−8000))/(x3(20−x)3)…（8分）
令y′=0，得（3x-20）（3x²+400）=0，
∵0＜x＜20，
∴x=(20)/(3)…（11分）
∵当x∈（0，(20)/(3)）时y′＜0，当x∈（ (20)/(3)，20）时y′＞0，
∴当x=(20)/(3)时，y有最小值．   …（12分）
故存在点C，当AC=(20)/(3)km时，该点的烟尘浓度最低．…（13分）