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若y=a^（x+2）-2(a>0,a≠1）的图像恒过点A若点A在直线mx+ny+1=0且mn>0求1/m+2/n的最小值
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若y=a^（x+2）-2(a>0,a≠1）的图像恒过点A 若点A在直线mx+ny+1=0且mn>0 求1/m+2/n的最小值
▼优质解答
答案和解析
若y=a^（x+2）-2(a>0,a≠1）的图像恒过点A
则A点坐标为(-2,-1)
点A在直线mx+ny+1=0,所以-2m-n+1=0,则n=1-2m,2m+n=1
1/m+2/n=(n+2m)/(mn)=1/(mn)=1/[m(1-2m)]
因为
m(1-2m)=m-2m²=-2(m²-m/2+1/16)+1/8=-2(m-1/4)²+1/8≤1/8
当m=1/4时,等号成立
所以1/[m(1-2m)]最小值是1/(1/8)=8
所以1/m+2/n的最小值是8
则A点坐标为(-2,-1)
点A在直线mx+ny+1=0,所以-2m-n+1=0,则n=1-2m,2m+n=1
1/m+2/n=(n+2m)/(mn)=1/(mn)=1/[m(1-2m)]
因为
m(1-2m)=m-2m²=-2(m²-m/2+1/16)+1/8=-2(m-1/4)²+1/8≤1/8
当m=1/4时,等号成立
所以1/[m(1-2m)]最小值是1/(1/8)=8
所以1/m+2/n的最小值是8
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