初中平面几何题三角形ABC,AD是BC的高,BE是AC的高.AD与BE交于F,G是BC的中点.AD等于BC,求证:FD加FG等于BC的一半.

Question

初中平面几何题
三角形ABC,AD是BC的高,BE是AC的高.AD与BE交于F,G是BC的中点.AD等于BC,求证:FD加FG等于BC的一半.

Answer 1

三角形ABC,AD是BC的高,BE是AC的高.AD与BE交于F,G是BC的中点.AD等于BC,求证:FD加FG等于BC的一半.
取AD的中点为M,则BG=CG=DM=1/2AD=1/2BC
∵∠DBF=∠EAF,∠BDF=∠AEF∴△BDF∽△ADC
∴BD/AD=FD/CD
∴（BG-GD）/AD=FD/（CG+GD）
∴（DM-GD）/2DM=FD/（DM+GD）
∴DM²-GD²=2DM*FD
∴（MF+FD）²=2FD（MF+FD）+GD²
∴MF²+2MF*FD+FD²=2FD*MF+2FD²+GD²
∴MF²=FD²+GD²
又∵FG²=FD²+GD²
∴MF=FG
∴FD+FG=FD+MF=DM=1/2BC