微分方程应用的实例.最好有过程分析的.

Question

微分方程应用的实例.最好有过程分析的.

Answer 1

光滑平面上弹簧振子的运动：
在弹性限度内,从平衡位置水平拉开距离A后释放,弹簧振子随即震动起来,选平衡位置为坐标原点,弹簧伸长方向为x轴,x=0时开始计时,在任意时刻t,位移为x,物体的运动加速度与所受弹力(f=-kx)的关系服从牛顿第二定律
m(d²x/dt²)=-kx,
令d²x/dt²=x'',k/m=ω²
x''+ω²x=0
特征方程r²+ω²=0的解为r=±ωi
因此微分方程的解为
x=Ccosωt+Dsinωt
我们可以用三角公式表示为
x=Acos(ωt+a)
A,a待定系数
t=0时,x=0,==>0=Acosa==>a=π/2,
则x=Acos(ωt+π/2)
（cos的最大值是1,A便是振幅）