24．把两个全等的直角三角板的斜边重合,组成一个四边形ADBC,以D为顶点作∠MDN,交边AC、BC于点M、N.（1）①如图①,若∠ACD＝30°,∠MDN＝60°,当∠MDN绕点D旋转时,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系

Question

24．把两个全等的直角三角板的斜边重合,组成一个四边形ADBC,以D为顶点作∠MDN,交边AC、BC于点M、N.
（1）①如图①,若∠ACD＝30°,∠MDN＝60°,当∠MDN绕点D旋转时,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系式是：.（需证明过程）
②如图②,若∠ACD＝45°,∠MDN＝45°,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系式是：.（需证明）
（2）由①②猜想：在上述条件下,如图③,当∠ACD与∠MDN满足什么条件时,上述关系恒成立?证明你的结论.
（3）如图④,在（2）的结论下,若将M、N分改在CA、BC的延长线上,其余条件不变,则AM、MN、BN间的关系式是：.（需证明过程）

Answer 1

（1）①,若∠ACD＝30°,∠MDN＝60°,当∠MDN绕点D旋转时,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系式是：AM+BN =MN
②如图②,若∠ACD＝45°,∠MDN＝45°,AM、MN、BN三条线段之间的数量关系式是：AM+BN =MN
(2)
当∠ACD+∠MDN=90°时,上述关系恒成立.
证明：
延长CA至B’,使AB’=BN,
又因为AD=BD,且∠DAB’=∠DBN,
所以△DAB’≌∠DBN,
所以DB’DN
∠ADB＋2∠ACD=180°,
∠MDN＋∠ACD=90°
所以2∠MDN＝∠ADB,
所以∠MDN＝∠MDB’
又因为DM=DM
所以△MDN≌△MDB
MN=MB’=MA+AB’=MA+BN
即：AM+BN =MN
若将M、N分改在CA、BC的延长线上,其余条件不变,则AM、MN、BN间的关系式是：
BN-AM =MN