用向量法证明三角形三条中线交于一点,且交点与与顶点的距离等于所在中线的三分之一.向量法!好的可以再加50分

Question

用向量法证明三角形三条中线交于一点,且交点与与顶点的距离等于所在中线的三分之一.
向量法!好的可以再加50分

Answer 1

设 G1 是三角形 ABC 中 BC 边的中线 AD 上一点,且 |AG1|=2/3*|AD| .（题目有误.重心到顶点的距离等于中线的三分之二）
则 AG1=2/3*AD=2/3*1/2*(AB+AC)=1/3*(AB+AC) ,
因此对平面任一点 O ,有
OG1=OA+AG1=OA+1/3*(AB+AC)=OA+1/3*[(OB-OA)+(OC-OA)]=1/3*OA+1/3*OB+1/3*OC ,
同理,设 G2、G3 分别是中线 BE、CF 上一点,且 BG2=2/3*BE ,CG3=2/3*CF ,
则可得 OG2=1/3*OA+1/3*OB+1/3*OC ,OG3=1/3*OA+1/3*OB+1/3*OC ,
这说明 G1、G2、G3 三点重合,
所以三角形三条中线交于一点,且该点到任一顶点的距离都等于到对边中点距离的 2 倍.