如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；（Ⅱ）现发现BC边上距点C的13处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥

Question

如图，把长、宽分别为4、3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角．
（Ⅰ）求顶点B和D之间的距离；
（Ⅱ）现发现BC边上距点C的(1)/(3)处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．

(1)/(3)处有一缺口E，请过点E作一截面，将原三棱锥分割成一个三棱锥和一个棱台两部分，为使截去部分体积最小，如何作法？请证明你的结论．(1)/(3)1133

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，连接OD

面ABC⊥面ACD

BO⊂面ABC

面ABC∩面ACD＝AC

⇒

BO⊥面ACD

OD⊂面ACD

∴BO⊥OD
由已知BO=(12)/(5)，OD=(√(193))/(5)在Rt△BOD中，BD=(√(337))/(5)．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

∵EG∥平面ACD，

EF∩EG＝E
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)＝((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)＝((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）．

面ABC⊥面ACD

BO⊂面ABC

面ABC∩面ACD＝AC

面ABC⊥面ACD

BO⊂面ABC

面ABC∩面ACD＝AC

面ABC⊥面ACD

BO⊂面ABC

面ABC∩面ACD＝AC

面ABC⊥面ACD

BO⊂面ABC

面ABC∩面ACD＝AC

面ABC⊥面ACD面ABC⊥面ACD面ABC⊥面ACDBO⊂面ABCBO⊂面ABCBO⊂面ABC面ABC∩面ACD＝AC面ABC∩面ACD＝AC面ABC∩面ACD＝AC

⇒

BO⊥面ACD

OD⊂面ACD

BO⊥面ACD

OD⊂面ACD

BO⊥面ACD

OD⊂面ACD

BO⊥面ACD

OD⊂面ACD

   BO⊥面ACDBO⊥面ACDBO⊥面ACDOD⊂面ACDOD⊂面ACDOD⊂面ACD
∴BO⊥OD
由已知BO=(12)/(5)，OD=(√(193))/(5)在Rt△BOD中，BD=(√(337))/(5)．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

∵EG∥平面ACD，

EF∩EG＝E
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)＝((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)＝((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）． (12)/(5)121212555，OD=(√(193))/(5)在Rt△BOD中，BD=(√(337))/(5)．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

∵EG∥平面ACD，

EF∩EG＝E
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)＝((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)＝((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）． (√(193))/(5)√(193)√(193)√(193)

193

193193555在Rt△BOD中，BD=(√(337))/(5)．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

∵EG∥平面ACD，

EF∩EG＝E
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)＝((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)＝((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）． (√(337))/(5)√(337)√(337)√(337)

337

337337555．
（Ⅱ）方案（一）过E作EF∥AC交AB于F，EG∥CD，交BD于G，

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

∵EG∥平面ACD，

EF∩EG＝E
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)＝((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)＝((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）．

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

EF∥AC

EF⊄面ACD

AC⊂面ACD

EF∥ACEF∥ACEF∥ACEF⊄面ACDEF⊄面ACDEF⊄面ACDAC⊂面ACDAC⊂面ACDAC⊂面ACD

⇒EF∥面ACD

∵EG∥平面ACD，

EF∩EG＝E
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)＝((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)＝((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）．

∵EG∥平面ACD，

∵EG∥平面ACD，

∵EG∥平面ACD，

∵EG∥平面ACD，

∵EG∥平面ACD，∵EG∥平面ACD，∵EG∥平面ACD，EF∩EG＝E
∴平面EFG∥平面ACD
原三棱锥被分成三棱锥B-EFG和三棱台EFG-CAD两部分，此时(VB−EFG)/(VB−ACD)＝((2)/(3))3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)＝((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）． (VB−EFG)/(VB−ACD)VB−EFGVB−EFGVB−EFGB−EFGVB−ACDVB−ACDVB−ACDB−ACD＝((2)/(3)222333)3＝(8)/(27)．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)＝((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）． 3＝(8)/(27)888272727．
方案（二）过E作EP∥BD交CD于P，EQ∥AB，交AC于Q，同（一）可证平面EPQ∥平面ABD，原三棱锥被分割成三棱锥C-EPQ和三棱台EPQ-BDA两部分，此时(VC−EPQ)/(VC−BDA)＝((1)/(3))3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）． (VC−EPQ)/(VC−BDA)VC−EPQVC−EPQVC−EPQC−EPQVC−BDAVC−BDAVC−BDAC−BDA＝((1)/(3)111333)3＝(1)/(27)，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）． 3＝(1)/(27)111272727，
为使截去部分体积最小，
故选用方案（二）．