已知正数数列{an}满足:Sn=1/2(an+1/an),其中Sn为数列an前n项和（1）证明数列{Sn^2}是一个等差数列,求{an}（2）求S=1/S1+1/S2.+1/S100整数部分能做多少就多少>

Question

已知正数数列{an}满足 :Sn=1/2(an+1/an),其中Sn为数列an前n项和
（1）证明数列{Sn^2}是一个等差数列,求{an}
（2）求S=1/S1 +1/S2.+1/S100整数部分
能做多少就多少>

Answer 1

1.Sn ^2 -Sn-1 ^2 = （Sn+Sn-1）（Sn-Sn-1）
=（Sn+Sn-an）an=an (2 Sn - an)
=an (an+1/an - an)=1
所以数列{Sn^2}是一个等差数列
S1=1/2(an+1/an) =an 得 an = 1 所以S1=1
S1的平方依然是1,又{Sn^2}是一个等差数列
所以Sn ^2 = n
{an}是 正数数列 Sn大于零
Sn = √n 所以Sn-1 =√(n-1)
an =Sn - Sn-1 = √n - √(n-1)
2.S=1/S1 +1/S2.+1/S100 =1+1/√2+1/√3+.+1/√100
1/√k = 2/2√k = 2/(√k+√k) < 2/(√k+√(k-1)) = 2(√k-√(k-1))
同理可得,2(√(k+1)-√k) < 1/√k
即：2(√(k+1)-√k) < 1/√k < 2(√k-√(k-1))
所以,
2[√2-1+...+√101-√100] < 1+1/√2+1/√3+.+1/√100 < 1+2[√2-1+√3-√2+...+√100-√99]
2[√2-1+...+√101-√100] = 2[√101-1]>2*[10-1]=18
1+2[√2-1+√3-√2+...+√100-√99] = 1+2[√100-1] = 1+2*9=19
所以,整数部分是18
想了蛮久的!