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(1)如图1,BP为△ABC的角平分线,PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,AB=30,BC=23,请补全图形,并求△ABP与△BPC的面积的比值;(2)如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE
题目详情
(1)如图1,BP为△ABC的角平分线,PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,AB=30,BC=23,请补全图形,并求△ABP与△BPC的面积的比值;
(2)如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,CD与BE相交于点O,判断∠AOD与∠AOE的数量关系,并证明;
(3)在四边形ABCD中,已知BC=DC,且AB≠AD,对角线AC平分∠BAD,请直接写出∠B和∠D的数量关系.
(2)如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,CD与BE相交于点O,判断∠AOD与∠AOE的数量关系,并证明;
(3)在四边形ABCD中,已知BC=DC,且AB≠AD,对角线AC平分∠BAD,请直接写出∠B和∠D的数量关系.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1所示.(1分)
∵BP为△ABC的角平分线,PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,
∴PM=PN.(2分)
∵S△ABP=
AB•PM,S△BPC=
BC•PN,AB=30,BC=23,
∴
=
=
.(3分)
(2)答:∠AOD与∠AOE的数量关系为相等.
证明:如图2,过点A作AM⊥DC于M,AN⊥BE于N,
∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°.
∵∠BAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠BAE.
∴△DAC≌△BAE.
∴DC=BE,
∴S△DAC=S△BAE.(4分)
∵S△DAC=
DC•AM,S△BAE=
BE•AN,
∴AM=AN.(5分)
∴点A在∠DOE的角平分线上.
∴∠AOD=∠AOE.(6分)
(3)作CM⊥AB,CN⊥AD,
则△CMB和△CND是直角三角形,
∵AC为∠BAD的角平分线,
∴CM=CN,
在Rt△CMB和Rt△CND中,
,
∴Rt△CMB≌Rt△CND(HL),
∴∠MBC=∠NDC,
∵∠MBC+∠ABC=180°,
∴∠ADC+∠ABC=180°,即∠B+∠D=180°.
∵BP为△ABC的角平分线,PM⊥AB于M,PN⊥BC于N,
∴PM=PN.(2分)
∵S△ABP=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
S△ABP |
S△BPC |
AB |
BC |
30 |
23 |
(2)答:∠AOD与∠AOE的数量关系为相等.
证明:如图2,过点A作AM⊥DC于M,AN⊥BE于N,
∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°.
∵∠BAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠BAE.
∴△DAC≌△BAE.
∴DC=BE,
∴S△DAC=S△BAE.(4分)
∵S△DAC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴AM=AN.(5分)
∴点A在∠DOE的角平分线上.
∴∠AOD=∠AOE.(6分)
(3)作CM⊥AB,CN⊥AD,
则△CMB和△CND是直角三角形,
∵AC为∠BAD的角平分线,
∴CM=CN,
在Rt△CMB和Rt△CND中,
|
∴Rt△CMB≌Rt△CND(HL),
∴∠MBC=∠NDC,
∵∠MBC+∠ABC=180°,
∴∠ADC+∠ABC=180°,即∠B+∠D=180°.
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