诚心请教关于椭圆与双曲线的题目RT,谢谢,元旦作业,不知道为什么我解不出来题目如下：“√”代表根号①、已知双曲线（X²/a²）-（Y²/b²）=1（a>0,b>0）的右焦点为F,过点F作

Question

【诚心请教】关于椭圆与双曲线的题目
RT,谢谢,元旦作业,不知道为什么我解不出来
题目如下：“√”代表根号
①、已知双曲线（X²/a²）-（Y²/b²）=1（a>0,b>0）的右焦点为F,过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线L于P（√3/3,√6/3）,求该曲线的方程.
我只能做到L的斜率是：（3√2-√3C）/3（设F的坐标为（C,0）
然后L斜率的平方等于b²/a²
后面就不会了
请高人帮忙!谢谢!
②、已知双曲线C的方程为（X²/4）-（Y²/8）=3,过点P（0,4）的直线L,交双曲线C于A,B两点.交X轴于Q点（Q与C的顶点不重合）,当向量PQ=α向量OA=β向量QB,且α+β=-8/3时,求Q点的坐标.
这题我完全不会...谢谢指导!

Answer 1

只说思路,具体运算你自己算一下吧
1：
由于：双曲线（X²/a²）-（Y²/b²）=1
故：焦点在X轴上
由于L为渐近线,且L上的点P在第一象限
则设L：y=(b/a)x
由PF垂直于L,且F（c,0)
可得点F到L的距离=|bc-a|/√[a^2+b^2]
又：垂足为P
则|PF|=F到L的距离
可得到一个含a,b,c的关系式为[1]式
L斜率b/a=√6/3/(√3/3)为[2]式
c^2=a^2+b^2为[3]式
联立[1][2][3]可得a,b,c
则可得双曲线方程
2:
过P的直线l用点斜式表示：y-4=kx
由于：A(x1,y1),B(x2,y2)为交点
l与x^2/4-y^2/8=1联立
得：(2-k^2)x^2-8kx-24=0
则：x1+x2=8k/(k^2-2)
x1*x2=24/(k^2-2)
由于向量PQ=λ1向量QA=λ2向量QB,
只需求出横坐标的关系即可
由XP=0,XQ=-4/k,XA=x1,XB=x2
得：
λ1=(x1+4/k)/(-4/k)
λ2=(x2+4/k)/(-4/k)
联立λ1+λ2=-8/3,
x1+x2=8k/(2-k^2),
x1x2=24/(k^2-2)
可得k
则：Q(-4/k,0)可得