过椭圆中心的一条弦,与椭圆交与两点,椭圆上一点与这两个交点连线的斜率积,如何证等于负的a^2分之b^2用一般方法做（不用特殊）

Question

过椭圆中心的一条弦,与椭圆交与两点,椭圆上一点与这两个交点连线的斜率积,如何证等于负的a^2分之b^2
用一般方法做（不用特殊）

Answer 1

分析：以椭圆中心为原点,对称轴为正方向,建立平面直角坐标系.
已知：椭圆方程：x²/a²+y²/b²=1；
过原点的直线交椭圆于M、N两点；
点P为椭圆上除M、N外的任意一点；
PM、PN的斜率分别为k1、k2.
求证：k1·k2=-b²/a².
证明：令P(x,y),再由对称性可令M(m,n),N(-m,-n),由P异于M、N可知x²-m²≠0,于是
k1·k2=(y-n)/(x-m) · (y+n)/(x+m)=(y²-n²)/(x²-m²) ①
P、M、N在椭圆上,于是
b²x²+a²y²=a²b²=b²m²+a²n²
a²y²-a²n²=b²m²-b²x²
(y²-n²)/(x²-m²) =-b²/a² ②
由①②得k1·k2=-b²/a²