如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD关于直线AD成轴对称．（1）试说明：AE为⊙O的切线；（2）延长AE与CD交于点P，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．

Question

如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD关于直线AD成轴对称．

（1）试说明：AE为⊙O的切线；
（2）延长AE与CD交于点P，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．

Answer 1

（1）连接OA．
由△AED与△AHD关于直线AD成轴对称可知∠ADO=∠ADE，
∵AB⊥CD，
∴∠AED=∠AHD=90°．
又∵OA=OD（圆的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角），
∴∠OAD=∠ADE（等量代换），
∴OA∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠OAP=90°（两直线平行，同位角相等），
又∵点A在圆上，
∴AE为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，
OA²+AP²=OP²
x²+2²=（x+1）²（5分）
解得，x=1.5
∴⊙O的半径为1.5；
∵OA∥DE，
∴△PED∽△PAO
∴(DP)/(PO)=(DE)/(AO)，(1)/(2.5)=(DE)/(1.5)，
解得DE=(3)/(5)．