广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图）．分组频数频率[0，50]n10.15（50，100]n20.25（100，150]n30.30（150，200]n40.20（200，250]

Question

广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图）． 

分组	频数	频率
[0，50]	n1	0.15
（50，100]	n2	0.25
（100，150]	n3	0.30
（150，200]	n4	0.20
（200，250]	n5	0.10

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求a₁，a₃的值．
（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；
（3）用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图）． 

分组	频数	频率
[0，50]	n1	0.15
（50，100]	n2	0.25
（100，150]	n3	0.30
（150，200]	n4	0.20
（200，250]	n5	0.10

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求a₁，a₃的值．
（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；
（3）用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．

分组	频数	频率
[0，50]	n1	0.15
（50，100]	n2	0.25
（100，150]	n3	0.30
（150，200]	n4	0.20
（200，250]	n5	0.10

分组频数频率[0，50]n₁0.15（50，100]n₂0.25（100，150]n₃0.30（150，200]n₄0.20（200，250]n₅0.10分组频数频率分组频数频率[0，50]n₁0.15[0，50]n₁₁0.15（50，100]n₂0.25（50，100]n₂₂0.25（100，150]n₃0.30（100，150]n₃₃0.30（150，200]n₄0.20（150，200]n₄₄0.20（200，250]n₅0.10（200，250]n₅₅0.10
₁₃

Answer 1

（本小题满分12分）
（1） 由频率分布直方图，得：
a1=(0.10)/(50)=0.002，a3=(0.20)/(50)=0.004．…（2分）
（2） 设A₁表示事件“日销售量高于100个”，A₂表示事件“日销售量不高于50个”，
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．
P（A₁）=0.30+0.20+0.10=0.6，P（A₂）=0.15，
故所求概率：P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．…（5分）
（3） 依题意，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.6）．…（6分）
P（X=0）=

C

0 3

•(1-0.6)3=0.064，
P（X=1）=

C

1 3

×0.6×(1-0.6)2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分） a1=(0.10)/(50)=0.002，a3=(0.20)/(50)=0.004．…（2分）
（2） 设A₁表示事件“日销售量高于100个”，A₂表示事件“日销售量不高于50个”，
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．
P（A₁）=0.30+0.20+0.10=0.6，P（A₂）=0.15，
故所求概率：P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．…（5分）
（3） 依题意，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.6）．…（6分）
P（X=0）=

C

0 3

•(1-0.6)3=0.064，
P（X=1）=

C

1 3

×0.6×(1-0.6)2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分） 1=(0.10)/(50)0.10500.100.100.10505050=0.002，a3=(0.20)/(50)=0.004．…（2分）
（2） 设A₁表示事件“日销售量高于100个”，A₂表示事件“日销售量不高于50个”，
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．
P（A₁）=0.30+0.20+0.10=0.6，P（A₂）=0.15，
故所求概率：P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．…（5分）
（3） 依题意，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.6）．…（6分）
P（X=0）=

C

0 3

•(1-0.6)3=0.064，
P（X=1）=

C

1 3

×0.6×(1-0.6)2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分） a3=(0.20)/(50)=0.004．…（2分）
（2） 设A₁表示事件“日销售量高于100个”，A₂表示事件“日销售量不高于50个”，
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．
P（A₁）=0.30+0.20+0.10=0.6，P（A₂）=0.15，
故所求概率：P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．…（5分）
（3） 依题意，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.6）．…（6分）
P（X=0）=

C

0 3

•(1-0.6)3=0.064，
P（X=1）=

C

1 3

×0.6×(1-0.6)2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分） 3=(0.20)/(50)0.20500.200.200.20505050=0.004．…（2分）
（2） 设A₁1表示事件“日销售量高于100个”，A₂2表示事件“日销售量不高于50个”，
B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．
P（A₁1）=0.30+0.20+0.10=0.6，P（A₂2）=0.15，
故所求概率：P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．…（5分）
（3） 依题意，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.6）．…（6分）
P（X=0）=

C

0 3

•(1-0.6)3=0.064，
P（X=1）=

C

1 3

×0.6×(1-0.6)2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分）

C

0 3

C

0

3

C

0

3

CC

0

3

0

0

3

3•(1-0.6)3=0.064，
P（X=1）=

C

1 3

×0.6×(1-0.6)2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分） 3=0.064，
P（X=1）=

C

1 3

×0.6×(1-0.6)2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分）

C

1 3

C

1

3

C

1

3

CC

1

3

1

1

3

3×0.6×(1-0.6)2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分） 2=0.288，
P（X=2）=

C

2 3

×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分）

C

2 3

C

2

3

C

2

3

CC

2

3

2

2

3

3×0.62×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分） 2×(1-0.6)=0.432，
P（X=3）=

C

3 3

×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分）

C

3 3

C

3

3

C

3

3

CC

3

3

3

3

3

3×0.63=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分） 3=0.216，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

X0123P0.0640.2880.4320.216X0123XX00112233P0.0640.2880.4320.216PP0.0640.0640.2880.2880.4320.4320.2160.216…（11分）
∴EX=3×0.6=1.8．…（12分）