复杂式子的分解比如1+q^7-q^3-q^4该怎么分解?还有一些带字母的方程等,该怎么分解?能说下入手点和思路吗?那像x^2+xy-6y^2+x+13y-6x^2-2xy+y^2-3y+2这种又该怎么入手呢？是不是你说的加上

Question

复杂式子的分解
比如 1+q^7-q^3-q^4该怎么分解?还有一些带字母的方程等,该怎么分解?
能说下入手点和思路吗?
那像x^2+xy-6y^2+x+13y-6 x^2-2xy+y^2-3y+2 这种又该怎么入手呢？是不是你说的加上一个幂？

Answer 1

观察该式不难发现,q^7-q^3可以合并成q^3（q^4-1）.
原式=q^3（q^4-1）-（q^4-1）
=（q^3-1）（q^4-1）
=（q-1）（q^2+q+1）（q^2+1）（q^2-1）
=(q+1)(q-1)^2（q^2+q+1）（q^2+1）
这类题目的思路一是“约”,二是“凑”.
看能不能找到公因子或公约数,能不能化成（a^2-b^2）的形式.这种形式的函数有非常好的特点,可以变成（a+b）（a-b）,通常在分数式子里可以一连串约去.
有时凑成需要的幂缺少一个n次方项,这时要果断地增加需要的项,再减去该项.
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实在没有思路,有一个万能法则：最高次幂是2次方,说明分解后只有两个因子.里面有x^2,y^2,有xy,有单独的x、y,有常数,说明是（ax＋by＋f）（cx＋dy＋e）的形式,其中abcdef是正负不确定的常数.
最笨的办法是把这个式子展开,整理各项,再根据题目的各项系数联立关于abcde的方程组,解这个方程组.当然这个方法是不可取的,考试时间有限.
以x^2+xy-6y^2+x+13y-6 为例.
观察x^2项,系数为1,不妨猜因子中x的系数也都为1,是（x＋ay＋b）（x＋cy＋d）的结构.将该结构展开,得：
x^2＋（a＋c）xy＋acy^2＋（b＋d）x＋（ad＋bc）y＋bd
由题设知,xy的系数为1,即a+c＝1 （猜：a和c一正一负,正数比负数绝对值大1）
y^2系数为－6,即ac＝－6 （猜：a和c一个是3,一个是－2）
x系数为1,即b＋d＝1（猜：a和c一正一负,正数比负数绝对值大1）
常数项为－6,即bd＝－6（猜：b和d一个是3,一个是－2）
y系数为13,即ad＋bc＝13（猜：3*3＋2*2＝13）
综上,a＝3,b＝－2,c＝－2,d＝3
原式＝（x＋3y－2）（x－2y＋3）