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线和导数结合的两道小题已知曲线x^2+y+1=0与双曲线x^2-y^2/b^2=0的渐近线相切,则此双曲线的焦距等于——答案为二倍根号五已知直线y=x+2与函数y=ln(ex+a)的图像相切,其中e是自然对数的底则a为—

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线和导数结合的两道小题
已知曲线x^2+y+1=0与双曲线x^2-y^2/b^2=0的渐近线相切,则此双曲线的焦距等于——答案为二倍根号五
已知直线y=x+2与函数y=ln(ex+a)的图像相切,其中e是自然对数的底则a为——答案为2e
▼优质解答
答案和解析
(1)
双曲线x^2-y^2/b^2=0的渐近线方程为:y=±bx
将其代入抛物线方程x^2+y+1=0中,得:
x^2±bx+1=0
相切说明上述方程有两个相等实根,即判别式Δ=0
所以:b^2-4=0
解得:b=2(因为一般规定b>0)
所以:c=√(a^2+b^2)=√(1^2+2^2)=√5
焦距=2c=2√5
(2)
直线y=x+2斜率恒为1
函数y=ln(ex+a)的导数是y'=e/(ex+a)
两函数相切,也就是在切点处两函数斜率相等
所以y=ln(ex+a)在切点处的斜率为1
令它的导函数等于1,即,e/(ex+a)=1
解得:x=1-a/e
将x=1-a/e代入两个函数中,所得y值是相等的(因为是同一点)
将x=1-a/e 代入函数y=ln(ex+a)中,得:
y=ln[e(1-a/e)+a]=1
将x=1-a/e 代入直线y=x+2中,得:
y=1-a/e+2=3-a/e
所以
3-a/e=1
解得:
a=2e
有没看懂的,再补充吧……
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