从任意10个整数（其中没有十的倍数）中总能找到几个数,使得他们的和是10的倍数,为什么?

Question

从任意10个整数（其中没有十的倍数）中总能找到几个数,使得他们的和是10的倍数,为什么?

Answer 1

设这10个数依次为
a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10
分别记
S1=a1
S2=a1+a2
S3=a1+a2+a3
……
S10=a1+a2+a3+……+a9+a10
①若S1,S2,S3,……,S10中有10的倍数,则显然得证
②若S1,S2,S3,……,S10中没有10的倍数,则按被10除的余数分类
可以分成9类：余1、余2、余3、……、余9
根据抽屉原理,S1,S2,S3,……,S10中必有两个在同一类中.这两个的差（也是
这10个整数几个数的和）必然是10的倍数.
比如S2和S7被10除的余数相同,
则S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7是10的倍数.
所以得证