宽为a的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为8a的细杆能水平地通过拐角,则另一走廊的宽度至少是多少?
宽为a的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为8a的细杆能水平地通过拐角,则另一走廊的宽度至少是多少?
答案和解析
如图,设细杆与另一走廊一边的夹角为
θ(0<θ<),
设另一走廊的宽为y,∵AB=,BC=8a−,∴y(θ)=BCsinθ=8asinθ−(0<θ<)
依题意必存在一个适当的0值使y最小.
由y′(θ)=8acosθ−=8acosθ−
令y'=0得cos3θ=,得csoθ=,θ=,
当cosθ<时,y'<0,当cosθ>时,y'>0,
∴当cosθ=,即θ=时,ymin3a,即另一走廊的宽度至少是3a
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