.数字逻辑.对偶式与反函数.数字逻辑下,对偶式与反函数和原函数的关系是什么?

Question

.数字逻辑.对偶式与反函数.
数字逻辑下,对偶式与反函数和原函数的关系是什么?

Answer 1

1、【对偶式】指的是：通过以下变换规则,可实现【互换】的【两个】【逻辑函数表达式】：
　　①：所有的【与】和【或】互换；
　　②：所有的【逻辑常量】——【0】和【1】——互换；
　　③：条件是：变换前后,【运算顺序】不变；
从定义可知：【对偶式】总是相互的：A是B的对偶式,当且仅当B是A的对偶式.
2、【原函数】和【反函数】也是相对的两个概念.它们是通过以下规则实现【互换】的：
　　①：所有的【与】和【或】互换；
　　②：所有的【逻辑常量】——【0】和【1】——互换；
　　④：所有的【逻辑变量】（【原变量】——【P】）,均变为相应的【反变量】——【¬P】；
　　③：条件是：变换前后,【运算顺序】不变；
　　从定义即可看出：互为【对偶式】的两个【逻辑函数表达式】和互为【反函数】的两个【逻辑函数】,是有很多相同点的.不过也能看出它们的不同点：即变换规则④.这条规则也决定了它们具有不同的性质：
1、【对偶规则】：
我们用【A*】表示【A】的【对偶式】；则：
　　【A＝B】→【A*＝B*】；（符号【→】表示【推出】）
即：【原式相等的两个表达式,其对偶式也相等】；
（1）根据【对偶式】的对称性,可以很容易地证明上述定理的逆命题也成立；
（2）该定理有一个推论：
　　【A＝X】∧【A*＝Y】→【X*＝Y】；（符号【∧】表示【并且】）
即：【与一对对偶式分别相等的两个表达式,也互为对偶式】；
2、【反演规则】：
我们用【F′】表示【F】的【反函数】；则：
　　【F】＝【¬F′】；
　　在教材中,表示【反函数】的符号和表示【非】的符号,根本就是同一个.事实上,是先有了【反函数】的概念,再有了【反演规则】——即上面2中所说的4条规则.而【反函数】最初的定义就是根据【非运算】实现的.所以说：
　　【反演规则】其实就是一个根据【原函数】构造【反函数】的方法；
　　最后再总结一下：
1、【相同点】——【对称性】；
根据这个性质,可得出以下结论：
（1）（A*）*＝A；即：【A】的【对偶式】的【对偶式】,是【A】本身；
（2）（F′）′＝F；即：【F】的【反函数】的【反函数】,是【F】本身；
2、【不同点】：
（1）不能直接建立【A】与【A*】的关系；只能建立分别与它们【相等】的,【另外两个】表达式的关系；
（2）可以建立【F】与【F′】的直接关系；知道其中一个的【真值】,即可知道另一个的【真值】；